پیشگفتار:

 

پس از این كه مهم‌ترین مسأله نظریه گروههای متناهی یعنی رده‌بندی گروههای ساده متناهی در سال 1979 به اتمام رسید، یكی از مسائل عمده مورد توجه دانشمندان این رشته تشخیص‌پذیری یك گروه با یك ویژگی مشخص بوده است. یك گروه دلخواه G را با خاصیت M تشخیص‌پذیر گوئیم، هر گاه گروه G تحت یكریختی تنها گروهی باشد كه در خاصیت M صدق می‌كند. همچنین یك گروه دلخواه G را با خاصیت  تشخیص‌پذیر گوئیم، هرگاه تحت یكریختی k تا گروه متمایز پیدا شود كه در خاصیت M صدق كند. به عنوان مثال تشخیص‌پذیری با استفاده از گراف اول، تشخیص‌پذیری با استفاده از گراف جابجائی یا گراف ناجابجائی در گروه از این دست مسائل هستند.

 

یكی دیگر از روش‌های تشخیص‌پذیری یك گروه، تشخیص‌پذیری با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه یك گروه است كه بطور ساده آن را با نماد nse نشان می‌دهند. این نوع تشخیص‌پذیری برای اولین بار توسط شی[1] و همكارنشان در سال 2008 در مقاله‌ای تحت عنوان:

 

Characterization of Simple – groups

 

به صورت جدی مساله رده‌بندی گروه G با nse و مرتبه گروه را مورد مطالعه قرار دادند. در سال 2009 شن[2] و همكارنشان مقاله‌ دیگری تحت عنوان:

 

A new characterization of

 

ارائه كردند كه در این مقاله آنها فقط با استفاده از nse توانستند برای گروههای ،  و  ثابت كنند كه تشخیص‌پذیرند. آنها همچنین سوال زیر را مطرح كردند.

 

سوال: فرض کنید به طوری که آن گاه آیا می توان نتیجه گرفت ؟

 

در فصل دوم این رساله ما نشان داده‌ایم كه گروههای متناوب ساده ،  با این روش تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله تحت عنوان:

 

A new Charaterization of ,

 

در سال 2011 در مجله

 

Anale Stintifice ale universitatii Ovidius Constanta

 

موفق به دریافت‌ پذیرش چاپ گردید.

 

در سال 2009 خسروی و همكارنشان در مقاله‌ای تحت عنوان:

 

A new Charaterization for some linear groups

 

نشان دادن كه گروههای  برای  با استفاده از nse تشخیص‌پذیرند. آنها در مقاله خود سوال زیر را مطرح كردند.

 

سوال: فرض كنید G یك گروه باشد به طوری كه  جائیكه q توانی از یك عدد اول است. آیا گروه G با  ایزومورف است؟

 

در ادامه فصل دوم این رساله نشان داده‌ایم كه گروههای خطی  برای  با این روش تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله‌ای تحت عنوان:

 

A new Charaterization of  for some q

 

تدوین و برای داوری به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است. همچنین در مقاله‌ای دیگر تحت عنوان:

 

A new charaterization of symmetric group for some n

 

كه برای داوری به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده نشان داده‌ایم كه گروههای متقارن  برای  با nse تشخیص‌پذیرند كه نتایج حاصل از آن در فصل دوم این رساله آمده است. در ادامه فصل دوم نشان دادیم كه گروههای ساده ماتیو هم با استفاده از تعداد عناصر هم مرتبه یك گروه تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله‌ای تحت عنوان:

 

A Charaterization of Matheiu groups by NSE

 

تدوین و برای داوری به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است. در پایان فصل دوم نشان دادیم که همه گروههای ساده پراکنده با استفاده از nse ومرتبه تشخیص پذیرند كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:

 

A Characterization of Sporadic Simple Groups by NSE and Order

 

در سال  2012 در مجله        

 

Journal of Algebra and Its Applications

 

موفق به پذیرش چاپ کردید.

 

 

در فصل سوم این رساله روش دیگری برای تشخیص‌پذیری گروه ارائه كرده‌ایم كه روش جدیدی برای تشخیص‌پذیری یك گروه است كه تاكنون هیچ مقاله‌ای در این زمینه به چاپ نرسیده است. در این روش با استفاده از تعداد سیلو زیرگروههای یك گروه با مركز بدیهی نشان می‌دهیم كه بعضی از گروههای خطی تشخیص‌پذیر و یا تشخیص‌پذیرند. نتایج حاصل از این فصل را در قالب دو مقاله تدوین كرده‌ایم. در مقاله اول روی گروههای  برای  كار شده كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:

 

A new charaterization of some linear groups

 

برای داروی به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است، و در مقاله دوم روی گروههای  برای  كار شده كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:

 

A Charaterization of some linear groups

 

در سال 2011 در مجله

 

Australian Journal of Basic and Applied Science

 

چاپ شده است.

 

فصل اول: تعاریف و قضیه های مقدماتی

 

1-1- مقدمه

 

این فصل را به بیان تعاریف اولیه كه در سرتاسر رساله به كار خواهیم برد و همچنین بیان قضایای معروفی كه از آنها استفاده خواهیم كرد، اختصاص می‌دهیم. قضایایی كه بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر یك از آنها مرجعی مناسب معرفی شده است تا خواننده در صورت نیاز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضیه را مشاهده كند.

 

2-1- تعریف و مفاهیم مقدماتی

 

تعریف: فرض كنید گروه G روی مجموعه X عمل كند و در این صورت مجموعه   را پایدارساز x در G نامیده و با نماد یا  نشان می‌دهیم.

 

تعریف: عمل G روی X را انتقالی می‌گوئیم هر گاه به ازای هر  و از X عضوی از G مانند g باشد به طوری كه .

 

تعریف: عمل G روی X را انتقالی است هر گاه به ازای هر دوگانه و که در آن  و برای هر عضوی از G مانند g باشد به طوری كه  برای هر .

 

تعریف: عمل گروه G روی مجموعه X را نیمه‌منظم گوئیم هرگاه برای هر  داشته باشیم

 

{1}=

 

قضیه 1-2-1 فرض كنید گروه G روی X به طور نیمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسوم‌علیهی از مرتبه X است.

 

برهان. به [8] رجوع شود.

 

برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.

 

قضیه 1-2-2 فرض كنید G یك گروه متناهی و N یك زیرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه  و  مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم.

 

برهان. به [33] رجوع شود.

 

تعریف: فرض كنید n یك عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است كه n را می‌شمارد.

 

 اگر G یك گروه متناهی باشد،  را همان  تعریف می‌كنیم.

 

قضیه 1-2-3 فرض كنید G یك گروه متناهی،  فرد باشد همچنین فرض كنید P  یك سیلو  زیرگروه G و  جائیكه . اگر P دوری نباشد،  آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از  است.